Puntata n.3 del 2024

Una Deviazione Armonica Assoluta e una Retta Armonica Interpolante

Oggi propongo due novità importanti per me. Se qualche lettore si aspetta sofisticatezze sappia che ha sbagliato puntata.

Questo Blog ha dimostrato principalmente il risultato seguente:

In un insieme di k variabili quantitative, $\{X_i; 1 \le i \le k\}$ , queste sono comparabili, nel senso che ammettono sia una misura di locazione/posizione relativa che una di dispersione pure relativa, se e solo se, alla luce della situazione oggetto di studio, sono univocamente uni-direzionate, cioè leggibili come graduatorie, diciamo in chiave migliorativa. Solo così il crescere di ogni grandezza non risulta ambiguo.

Si consideri che a tutt’oggi si pretende di classificare un insieme di variabili secondo la loro dispersione relativa (C.V.) quando, lo sanno tutti, dovrebbe avere la precedenza la loro locazione relativa, che però, a mia memoria, non risulta disponibile. Serve a questo scopo la trasformata dal non preferibile al preferibile (PnP; da 0 a 100) che assegna alle $\{X_i\}$ la notazione $\{tX_i\}$.

Nell’esempio EU27 le cinque grandezze sono da leggere rispettivamente come:

• Miglior Produzione (tPIL)

• Miglior Deficit, (t|DEF|)

• Miglior Indebitamento, (tDEB)

• Miglior Inflazione, (tINF)

• Miglior Occupazione, (tOCC).

La dispersione standard semi-armonica, $\sigma_s$ , media la dispersione standard $\sigma = \sqrt{E(x^2)}$, e la contro - dispersione standard , $\sigma_c = \sqrt{E_h(x^2)}$, (E_h\sta per media armonica). La contro-varianza, $\sigma_c^2$ , che si può definire come media armonica dei quadrati degli scarti, va dichiarata altrettanto artificiosa (per non dire sbagliata), quanto la varianza, $\sigma^2$, ma nella direzione opposta, risultando sottodimensionata la prima e sovradimensionata la seconda.

A breve verrà illustrato il tutto, poi seguiranno le proposte di oggi:

Una deviazione armonica assoluta, $\delta_h$ , e una retta armonica interpolante, $b_{h(y|x)}$.

Osservazione di Pierino:

• Se la varianza $\sigma^2$ è così artificiosa perché usare la dispersione standard semi-armonica, $\sigma_s$ , quando si dispone già di una valida deviazione media assoluta, $\delta$ ?

• Dipende, signor Pierino, $\delta$ tratta gli scarti alla pari, ma in certi casi la situazione consiglia di contenere quelli in valore assoluto più elevati a vantaggio degli altri.

Notare che, se $\delta(x)$ è, per definizione, la deviazione media assoluta degli scarti di $x$ dalla media $E(x)$, si può scrivere $\delta(x) = \delta(x) = E(|x|), per x \ne 0.$ Ora, se è definita la media degli scarti assoluti $E(|x|)$ , allora è definibile anche la deviazione armonica assoluta di tali scarti, $E_h(|x|)$ del tutto trascurata nella letteratura esistente.

Perciò $\delta_h(x) = E_h(|x|) = E^{-1}\Big(\frac 1{|x|}\Big)$ serve essenzialmente come misura di deviazione assoluta da affiancare a $\delta(x)$ : indispensabile quando non si vuole privilegiare gli scarti elevati in valore assoluto e irrinunciabile quando si tratta di rapporti.

È opportuno indicare la media degli scarti positivi con $E(x^+)$ e la media di scarti negativi, dovendo ripristinare il segno che le spetta, con $(-1)E(-x^-) = E^-(-x^-) = E^-(|x^-|)$; analogamente per le medie armoniche $E_h(x^+)$ e $E_n^-(x^-)$.

Nella tavola che segue è possibile apprezzare il confronto tra i vari riassunti riferiti all’esempio EU-27 (i simboli $E_r , \sigma_r , \delta_r$ indicano misure relative):

tX	$E_r$(tX)	$\sigma_r$(tX)	$\delta_r$(tX)	$\sigma_c$	$\sigma_s$	$\delta_h$
tPIL	26,6	19,1	13,6	4,3	11,7	6,5
t|DEF|	62,0	29,9	25,1	5,7	17,8	10,3
tDEB	60,2	26,2	21,8	3,7	14,9	6,8
tINF	68,4	27,1	21,7	5,2	16,1	12,2
tOCC	51,4	26,1	22,1	4,7	15,4	9,4

In particolare, il PIL si assesta al 26,6% del tragitto che va dal paese fanalino di coda a quello invidiabile più dotato. Buona la locazione relativa dei 5 parametri che si piazza al 53,7%, con una dispersione, secondo $\sigma_r$, di 25,7 punti percentuali. La locazione relativa migliore, ($E_r$ = 68,4%), spetta all’Inflazione che riceve anche una tra le dispersioni relative peggiori, ($\sigma_r$ = 27,1), assieme al Deficit, (29,9); ciò è confermato sia dalla dispersione standard semi-armonica, ($\sigma_s$ = 16,1), che dalla deviazione armonica assoluta, ($\delta_h$ = 12,2). Il Pil assume la locazione relativa di gran lunga peggiore ($E_r$ = 26,6) pur con una dispersione relativa migliore, ($\sigma_r$ = 19,1), quest’ultima confermata sia dalla dispersione standard semi-armonica ($\sigma_s$ = 11,7), che dalla deviazione armonica assoluta ($\delta_h$ = 6,5).

Secondo $E_r , \sigma_r , \sigma_s, \delta$ l’Europa dovrebbe mettere mano alla locazione relativa del Pil e alle disparità più marcate, iniziando dal Deficit, quando invece, secondo la deviazione armonica assoluta, $\delta_h$, dovrebbe privilegiare l’Inflazione

Ora, al fine di presentare la retta armonica interpolante, si valuta in dettaglio l’eventuale effetto di $x_i =$ zINF su $y_i$=zPIL. Operando sugli scarti (la sigla indica che si tratta di punti zeta) la retta interpolante armonica verrà individuata da un solo parametro: il coefficiente di regressione, $b_{h(y|x)}$ .

Si consideri che ogni paese viene rappresentato da un punto del piano cartesiano tramite le coordinate $(x_i, y_i; 1 \leq i \leq 27)$. Ciascun punto suggerisce una retta interpolante mediante il rapporto $\frac {y_i} {x_i} ; x_i \ne 0$.

È possibile riassumere opportunamente tali rapporti osservati che individuano un fascio di rette del piano centrato sull’origine. Basterà una sintesi delle 27 quantità per ricavare una retta interpolante da preferire a quella dei minimi quadrati. Quale sintesi calcolare? Vediamo di interpretare tale suggerimento alla luce della situazione europea.

Ora, ogni paese può essere rappresentato dalla quantità $Q_i = \frac {y_i} {x_i}$ dato che $y_i$ rappresenta la somma disponibile (il pil pro-capite del paese i; si pensi a uno stipendio medio), mentre $x_i$ può essere inteso come il prezzo, cioè la penalità che quel paese paga sul mercato in termini di inflazione. Allora i rapporti $\{Q_1 = \frac {y_1} {x_1} ; Q_2 = \frac {y_2} {x_2}; ... ; Q_N = \frac {y_N} {x_N}\}$ rappresentano proprio le quantità $Q_i$ di un dato bene acquistabili nel paese i, con la somma $y_i$ , al prezzo $x_i$ .

Si può pensare al numero di mesi di affitto necessari per un alloggio standard. Per coprire i costi dell’affitto ogni mensilità necessita di quote del Pil pari a $\{ \frac 1 Q_1 ; \frac 1 Q_2 ; ... ; \frac 1 Q_N\}$ . Per intenderci: se, ad esempio, con uno stipendio si riesce a saldare 4 mensilità significa che $\frac 1 4$ dello stipendio viene speso nell’affitto. Dunque il costo europeo mensile, al netto dell’inflazione, risulta pari a $\{\frac {x_1} {y_1} + \frac {x_2} {y_2} + ... + \frac {x_N} {y_N}\}$. Se gli N paesi pagassero la stessa cifra w affinché il costo europeo rimanga invariato, il costo mensile di ciascun paese dovrà essere $\frac 1 w$e quello complessivo. Perciò si ha:

$$\frac N w = \frac {x_1} {y_1} + \frac {x_2} {y_2} + ... + \frac {x_N} {y_N}$$

$$\frac w N = \frac 1 {\frac {x_1} {y_1} + \frac {x_2} {y_2} + ... + \frac {x_N} {y_N}}$$

$$w = \frac N {\frac {x_1} {y_1} + \frac {x_2} {y_2} + ... + \frac {x_N} {y_N}}$$

Date rette osservate la sintesi preferibile del fascio è quella che rispetta la situazione complessiva cioè: la media armonica delle quantità acquistabili (Chisini, 1929). Nel caso presente, fatto $N_1$ di rapporti positivi ed $N_2$ negativi (dato che la media armonica è definita solo per quantità positive) si può calcolare la somma armonica delle quantità positive $Q^+$, e quella delle quantità negative $Q^-$ si può dimostrare che il coefficiente della retta armonica interpolante:

$$b_{h(y|x)} = \frac 1 N (Q^+N_1 -Q^-N_2) ; N= N_1+N_2$$

Perciò, mentre la soluzione dei minimi quadrati dà la retta, $b_{y|x} = -0,12 (Q = 0,643; R^2 =21\%)$ la retta armonica interpolante vale $b_{h(y|x)} = -0,59 (R^2 = 7,2\%)$ (calcoli eseguiti con Statgraphics, 2024).

In sostanza la relazione risulta trascurabile rispetto a quella indicata dai minimi quadrati. Il che significa che ogni settore richiede un intervento specifico senza contare su eventuali effetti collaterali o complementari. La retta armonica interpolante si presenta come qualcosa di più di una semplice alternativa alla retta dei minimi quadrati dato che questa minimizzando la somma dei divari verticali tra valori osservati e previsti esagera gli scarti in valore assoluto più elevati.