Puntata n.3 del 2024

Una Deviazione Armonica Assoluta e una Retta Armonica Interpolante

Oggi propongo due novità importanti per me. Se qualche lettore si aspetta sofisticatezze sappia che ha sbagliato puntata.

Questo Blog ha dimostrato principalmente il risultato seguente:

In un insieme di k variabili quantitative, {Xi;1ik}\{X_i; 1 \le i \le k\} , queste sono comparabili, nel senso che ammettono sia una misura di locazione/posizione relativa che una di dispersione pure relativa, se e solo se, alla luce della situazione oggetto di studio, sono univocamente uni-direzionate, cioè leggibili come graduatorie, diciamo in chiave migliorativa. Solo così il crescere di ogni grandezza non risulta ambiguo.

Si consideri che a tutt’oggi si pretende di classificare un insieme di variabili secondo la loro dispersione relativa (C.V.) quando, lo sanno tutti, dovrebbe avere la precedenza la loro locazione relativa, che però, a mia memoria, non risulta disponibile. Serve a questo scopo la trasformata dal non preferibile al preferibile (PnP; da 0 a 100) che assegna alle {Xi}\{X_i\} la notazione {tXi}\{tX_i\}.

Nell’esempio EU27 le cinque grandezze sono da leggere rispettivamente come:

  • Miglior Produzione (tPIL)

  • Miglior Deficit, (t|DEF|)

  • Miglior Indebitamento, (tDEB)

  • Miglior Inflazione, (tINF)

  • Miglior Occupazione, (tOCC).

La dispersione standard semi-armonica, σs\sigma_s , media la dispersione standard σ=E(x2)\sigma = \sqrt{E(x^2)}, e la contro - dispersione standard , σc=Eh(x2)\sigma_c = \sqrt{E_h(x^2)}, (sta per media armonica). La contro-varianza, σc2\sigma_c^2 , che si può definire come media armonica dei quadrati degli scarti, va dichiarata altrettanto artificiosa (per non dire sbagliata), quanto la varianza, σ2\sigma^2, ma nella direzione opposta, risultando sottodimensionata la prima e sovradimensionata la seconda.

A breve verrà illustrato il tutto, poi seguiranno le proposte di oggi:

Una deviazione armonica assoluta, δh\delta_h , e una retta armonica interpolante, bh(yx)b_{h(y|x)}.

Osservazione di Pierino:

  • Se la varianza σ2\sigma^2 è così artificiosa perché usare la dispersione standard semi-armonica, σs\sigma_s , quando si dispone già di una valida deviazione media assoluta, δ\delta ?

  • Dipende, signor Pierino, δ\delta tratta gli scarti alla pari, ma in certi casi la situazione consiglia di contenere quelli in valore assoluto più elevati a vantaggio degli altri.

Notare che, se δ(x)\delta(x) è, per definizione, la deviazione media assoluta degli scarti di xx dalla media E(x)E(x), si può scrivere δ(x)=δ(x)=E(x),perx0.\delta(x) = \delta(x) = E(|x|), per x \ne 0. Ora, se è definita la media degli scarti assoluti E(x)E(|x|) , allora è definibile anche la deviazione armonica assoluta di tali scarti, Eh(x)E_h(|x|) del tutto trascurata nella letteratura esistente.

Perciò δh(x)=Eh(x)=E1(1x)\delta_h(x) = E_h(|x|) = E^{-1}\Big(\frac 1{|x|}\Big) serve essenzialmente come misura di deviazione assoluta da affiancare a δ(x)\delta(x) : indispensabile quando non si vuole privilegiare gli scarti elevati in valore assoluto e irrinunciabile quando si tratta di rapporti.

È opportuno indicare la media degli scarti positivi con E(x+)E(x^+) e la media di scarti negativi, dovendo ripristinare il segno che le spetta, con (1)E(x)=E(x)=E(x)(-1)E(-x^-) = E^-(-x^-) = E^-(|x^-|); analogamente per le medie armoniche Eh(x+)E_h(x^+) e En(x)E_n^-(x^-).

Nella tavola che segue è possibile apprezzare il confronto tra i vari riassunti riferiti all’esempio EU-27 (i simboli Er,σr,δrE_r , \sigma_r , \delta_r indicano misure relative):

tX

ErE_r(tX)

σr\sigma_r(tX)

δr\delta_r(tX)

σc\sigma_c

σs\sigma_s

δh\delta_h

tPIL

26,6

19,1

13,6

4,3

11,7

6,5

t|DEF|

62,0

29,9

25,1

5,7

17,8

10,3

tDEB

60,2

26,2

21,8

3,7

14,9

6,8

tINF

68,4

27,1

21,7

5,2

16,1

12,2

tOCC

51,4

26,1

22,1

4,7

15,4

9,4

In particolare, il PIL si assesta al 26,6% del tragitto che va dal paese fanalino di coda a quello invidiabile più dotato. Buona la locazione relativa dei 5 parametri che si piazza al 53,7%, con una dispersione, secondo σr\sigma_r, di 25,7 punti percentuali. La locazione relativa migliore, (ErE_r = 68,4%), spetta all’Inflazione che riceve anche una tra le dispersioni relative peggiori, (σr\sigma_r = 27,1), assieme al Deficit, (29,9); ciò è confermato sia dalla dispersione standard semi-armonica, (σs\sigma_s = 16,1), che dalla deviazione armonica assoluta, (δh\delta_h = 12,2). Il Pil assume la locazione relativa di gran lunga peggiore (ErE_r = 26,6) pur con una dispersione relativa migliore, (σr\sigma_r = 19,1), quest’ultima confermata sia dalla dispersione standard semi-armonica (σs\sigma_s = 11,7), che dalla deviazione armonica assoluta (δh\delta_h = 6,5).

Secondo Er,σr,σs,δE_r , \sigma_r , \sigma_s, \delta l’Europa dovrebbe mettere mano alla locazione relativa del Pil e alle disparità più marcate, iniziando dal Deficit, quando invece, secondo la deviazione armonica assoluta, δh\delta_h, dovrebbe privilegiare l’Inflazione

Ora, al fine di presentare la retta armonica interpolante, si valuta in dettaglio l’eventuale effetto di xi=x_i = zINF su yiy_i=zPIL. Operando sugli scarti (la sigla indica che si tratta di punti zeta) la retta interpolante armonica verrà individuata da un solo parametro: il coefficiente di regressione, bh(yx)b_{h(y|x)} .

Si consideri che ogni paese viene rappresentato da un punto del piano cartesiano tramite le coordinate (xi,yi;1i27)(x_i, y_i; 1 \leq i \leq 27). Ciascun punto suggerisce una retta interpolante mediante il rapporto yixi;xi0\frac {y_i} {x_i} ; x_i \ne 0.

È possibile riassumere opportunamente tali rapporti osservati che individuano un fascio di rette del piano centrato sull’origine. Basterà una sintesi delle 27 quantità per ricavare una retta interpolante da preferire a quella dei minimi quadrati. Quale sintesi calcolare? Vediamo di interpretare tale suggerimento alla luce della situazione europea.

Ora, ogni paese può essere rappresentato dalla quantità Qi=yixiQ_i = \frac {y_i} {x_i} dato che yiy_i rappresenta la somma disponibile (il pil pro-capite del paese i; si pensi a uno stipendio medio), mentre xix_i può essere inteso come il prezzo, cioè la penalità che quel paese paga sul mercato in termini di inflazione. Allora i rapporti {Q1=y1x1;Q2=y2x2;...;QN=yNxN}\{Q_1 = \frac {y_1} {x_1} ; Q_2 = \frac {y_2} {x_2}; ... ; Q_N = \frac {y_N} {x_N}\} rappresentano proprio le quantità QiQ_i di un dato bene acquistabili nel paese i, con la somma yiy_i , al prezzo xix_i .

Si può pensare al numero di mesi di affitto necessari per un alloggio standard. Per coprire i costi dell’affitto ogni mensilità necessita di quote del Pil pari a {1Q1;1Q2;...;1QN}\{ \frac 1 Q_1 ; \frac 1 Q_2 ; ... ; \frac 1 Q_N\} . Per intenderci: se, ad esempio, con uno stipendio si riesce a saldare 4 mensilità significa che 14\frac 1 4 dello stipendio viene speso nell’affitto. Dunque il costo europeo mensile, al netto dell’inflazione, risulta pari a {x1y1+x2y2+...+xNyN}\{\frac {x_1} {y_1} + \frac {x_2} {y_2} + ... + \frac {x_N} {y_N}\}. Se gli N paesi pagassero la stessa cifra w affinché il costo europeo rimanga invariato, il costo mensile di ciascun paese dovrà essere 1w\frac 1 we quello complessivo. Perciò si ha:

Nw=x1y1+x2y2+...+xNyN\frac N w = \frac {x_1} {y_1} + \frac {x_2} {y_2} + ... + \frac {x_N} {y_N}
wN=1x1y1+x2y2+...+xNyN\frac w N = \frac 1 {\frac {x_1} {y_1} + \frac {x_2} {y_2} + ... + \frac {x_N} {y_N}}
w=Nx1y1+x2y2+...+xNyNw = \frac N {\frac {x_1} {y_1} + \frac {x_2} {y_2} + ... + \frac {x_N} {y_N}}

Date rette osservate la sintesi preferibile del fascio è quella che rispetta la situazione complessiva cioè: la media armonica delle quantità acquistabili (Chisini, 1929). Nel caso presente, fatto N1N_1 di rapporti positivi ed N2N_2 negativi (dato che la media armonica è definita solo per quantità positive) si può calcolare la somma armonica delle quantità positive Q+Q^+, e quella delle quantità negative QQ^- si può dimostrare che il coefficiente della retta armonica interpolante:

bh(yx)=1N(Q+N1QN2);N=N1+N2b_{h(y|x)} = \frac 1 N (Q^+N_1 -Q^-N_2) ; N= N_1+N_2

Perciò, mentre la soluzione dei minimi quadrati dà la retta, byx=0,12(Q=0,643;R2=21%)b_{y|x} = -0,12 (Q = 0,643; R^2 =21\%) la retta armonica interpolante vale bh(yx)=0,59(R2=7,2%)b_{h(y|x)} = -0,59 (R^2 = 7,2\%) (calcoli eseguiti con Statgraphics, 2024).

In sostanza la relazione risulta trascurabile rispetto a quella indicata dai minimi quadrati. Il che significa che ogni settore richiede un intervento specifico senza contare su eventuali effetti collaterali o complementari. La retta armonica interpolante si presenta come qualcosa di più di una semplice alternativa alla retta dei minimi quadrati dato che questa minimizzando la somma dei divari verticali tra valori osservati e previsti esagera gli scarti in valore assoluto più elevati.

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